Fre00606 空間の概念について教えて下さい

#0000 sci4352  8912072046

　０に始まって３次元までは頭の中でなんとなく分かるような気が
しますが４次元以上の空間と云うのは、どう考えたら良いのでしょうか
更に重力による空間のゆがみについても教えて下さい
（個人的には、時空間と云う観念より私達は４次元に生きていると
考えているのですが間違いなのでしょうか）

#0001 sci4352  8912072053

基調書き込みは三島の渡辺でした

#0002 sci3021  8912081935

　重力による空間の歪みというのは、確か以前たむけんさんがどこかの基調で説明
してくださったと思いますが・・・どこだったかな。

　それから数学者の中には、４次元空間を頭の中で想像することの出来る人がいる
そうです。
                                                        D.D.C.

#0003 sci3517  8912092335

　えー D.D.C.さんよりご紹介いただいた たむけん でござる
４次元までならなんとか頭の中にイメージ出来るんですが　要するにＸＹＺ軸に直交
する第４の軸を....歪んだ空間はＭＵＴＡさんの［事象の地平線］コーナーですな
＃５１８です
［光が重力で曲がる］という現象を［光は直進する］という立場でみると空間の歪み
という見方ができるということでして....

　ここで入門［４次元講座］
1) まず０次元の［点］を考えてください
2) 次にこの点をある距離［１］だけ動かしますとその軌跡は長さ１の線になります
（ここでこの線の両端は元の点の最初と最後を表しているのを記憶しておいて下さい）
さて初めて大きさ（長さ）が出てきましたがこの線上で表せる方向は±二つの向きが
ありますが一つです（解りにくい説明だなー）
3) この線を［この線上にない方向に］単位長さ動かすとその軌跡は
　　i)元の線
　 ii)動いた後の線
　iii)元の線の端Ａの軌跡の線
 iiii)元の線の端Ｂの軌跡の線
の４つの線で囲まれた［面］になります　便宜上これを［正方形］と呼びます

ここで［この線上にない方向に］と表現したのを便宜上［この線に垂直に］と言い替え
ます（本当は［この線上にない方向］ならなんでもよいのだ）

4) この正方形をその面と垂直に単位長さ動かすとその軌跡は
　　　　i)元の正方形
　　　 ii)動いた後の正方形
　　　iii)元の正方形の４つの辺Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの軌跡の４つの正方形
の６つの正方形で囲まれた空間［立方体］となります

ここまではいいかなー　次いくぞー

さて　5) この立方体をこの空間と垂直に単位長さ動かすとその軌跡は

　　　ｉ）元の立方体
　　ｉｉ）動いた後の立方体
　ｉｉｉ）元の立方体の６つの面Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆの軌跡の６つの立方体で
囲まれた［四次元立方体］となります

単位長さを１ｍとするとこの［超立方体］の超体積は１ｍ＾4  表体積！は８ｍ^3
３２の辺を持ち　１６の点を持つ　さあどうだ

ご要望があれば４次元球（４次元空間である点から単位長さにある点の集合または
その内部を表す）の説明も出来るつもりだけどイメージが伝わるか自信がないなー

#0004 sci3021  8912101337

　・・・と、いうことです（他力本願）。

　たむけんさん、本当に頭の中で４次元を想像出来るんですか？　すごいですね。
私も理屈では分かるのですが、想像は出来ませんねぇ。
                                                        D.D.C.

#0005 sci4352  8912122100

反応が鈍くて済みません、聞きだしっぺの渡辺です
D.D.C,さん、たむけんさん、こんにちはです
さて本題ですが、そうすると３次元の立方体が移動し４次元を構成し
３次元の立方体に戻ったとするとトータルして超立方体は
８つの３次元立方体と２４の面、３２の稜、１６の頂点を持つと考えるのですが
これはあくまでＸ，Ｙ，Ｚ，軸で表す３次の空間へ
超立方体を便宜上、展開したものであって本来の姿ではないですよね
４次の多面体や球などについても数字的にはある程度の理解が
出来るのですが、実際に４次元の空間に入り込むことが可能と
仮定して８つの３次元空間を自在に移動するとなると、今の私達の住む
空間にどう云う感じで出没するかは想像できます
しかし、４次の空間そのものの感覚とはどんなものなのでしょうか

座標上で空間と時間の区別がない以上私は３次の空間が実時間の矢の方向に
（Ｘ＝Ｙ＝Ｚの方向なのかなぁ？）
スライドしている連凧を、４次元、さらに空間的次元での超立方体と
時間のコンビネーションを５次元とイメージしています
ついでに時間そのものはビッグ・バンからの虚距離？で３次元空間に表すと
螺旋ではないかと思っているのですが、御意見をお待ちしています

　たまに脳にオーバーロードをかけると、あ玉が、いやいや頭が痛む
ＭＳＧが長目で袋叩きにあうのが怖い、、、三島の渡辺

#0006 sci3021  8912132223

　４次元空間そのものの感覚なんて、言葉で説明出来ないでしょうね、多分。

　４次元以外の、もっとポピュラーなイメージ（３次元の立方体など）でも、ここ
に線があって面があってという説明以外の言葉では表現出来ないのですから。

　という訳で、４次元を想像できるようになるには、本人の努力（数学を極めて、
完全に頭の中で理解できるようにする）か、他人の頭の中のイメージを、直接自分
の頭に転送出来る装置の発明を待つか、どちらかですが、どちらも見込みは薄いで
しょうね。

　頭の中で数式をパッとイメージ出来る人なんて、ざらにはいませんからね（限ら
れた天才だけ。高度な数学は、努力だけでは極められません）。

                                                        D.D.C.

#0007 sci1353  8912140140

４時限空間てイメージできるつもりなんですけど
これってインチキなのかなぁ？
べつに数式がパッてこともないし、
数学全然駄目だし。
２次元３次元もイメージできるつもりですけど
これってあたりまえで、そうすると
２次元と３次元の数学の式がパッと
思い浮かぶのかなぁ？
私はそれもない。
０次元と１次元はイメージしにくいなぁ。
５次元以上だとその軸を何に当てていいのか分らない。

#0008 sci3850  8912140327

４次元空間って３次元時空間を考えるってのはダメでしょうか？

私にはＸＹＺに垂直な線が創造出来なかったので、時間の移動に頼ってしまった。

あれ？時間入れると４次元時空間かな？
３次元空間ってのは・・

ＵＮＩ

#0009 sci3588  8912140816

　物理学で云うミンコフスキー四次元時空とは別にして考えると、たむ
けんさんが説明してくれた、数学で云う超立体（ハイパー・キューブ）
や四次元多様体（トポロジー）という、数学定義の操作だけで作り出し
た四次元ユークリッド空間のイメージ化は、いろいろな人の好奇心をそ
そったようで、、
 
　　エッシャーも挑戦したみたいですが(*1)、フェルナンド・ケーサス
　という人は、超立体の作り方と似た方法の画法で四次元風景を目で見
　る形に近づけた絵画を描いてます。(*2)
 
　　デビッド・ブリッソンは、ある画像を、左右の視差による通常の立
　体視に加えて上下の視差を利用することによって、立体視メガネで、
　超立体を立体視できるよう考えたり、回転させながら見て、四次元の
　断面としての三次元像を立体視するオブジェを作りました。(*2)
 
　　日本の宮崎興二という人は、パソコンを使って、四次元図形のアニ
　メーションを作っています。(*3)
 
　デビッド・ブリッソンのオリジナルにこだわらなければ、実際にそれ
らの作品にお目にかかっていますが、「四次元の空間そのものの感覚と
はどんなものか」というこちらの興味に対してもっとも直接的、魅力的
なのが、宮崎氏の所説で、ある雑誌では自分の理論をへ理屈なんて言っ
ていますが(*3)、
 
　　四次元人の眼球の構造、その数からはじまって、四次元人が見る四
　次元の景色や、四次元人の見る三次元の景色、さらに三次元人が見る
　四次元の景色の錯覚した把握の仕方と、四次元人のそれとの違いを比
　較したりして、大いに楽しませてくれると同時に、超立体の理解、イ
　メージも大いに深めさせてもらいました。(*4)
 
　上にあげた例は、すべて超立体（ハイパー・キューブ）に関するもの
でして、トポロジーを知っていないと理解しにくい四次元多様体と違っ
て、数学的知識としては三角関数だけでも挑戦できます。第四番目の座
標軸を浮かびあがらせるのもイメージの力だけで大丈夫です。

　　*1 ｴｯｼｬｰの宇宙/ﾌﾞﾙｰﾉ･ｴﾙﾝｽﾄ 朝日新聞社
　　*2 ｲﾒｰｼﾞの回廊/坂根巌夫 朝日新聞社
　　*3 数学ｾﾐﾅｰ '89.7月号 p15
　　*4 かたちの科学/ 朝倉書店

　　結局、本の紹介しかしていないなさけない 斑猫 でした。

#0010 sci3021  8912141017

　３次元を頭の中でイメージするのには、３次元の数式を理解している必要はない
のではないでしょうか。

　３次元の認識は、人間の経験に基づく能力（あるいは、生まれついて持っている
のかも知れない）でしょう。

　それに対して４次元の方は、「経験する」という訳にはいかず、概念や数式とし
て理解しなければなりませんから。

　でもたむけんさんは数式パッといきませんか？　あれぇ？

　斑猫のご意見では、イメージだけで大丈夫？　あれぇ？

　「４次元の超立体を視覚的に表現する」というのは、あくまで「４次元の３次元
あるいは２次元への投影」であり、実際の４次元とは別なものと思うのですが。

　つまり、超立方体の「影」を想像するのなら簡単ですが、そこから実際の４次元
のイメージへと飛躍するには数学的センスが必要じゃないか、などと考えています。

                                                        D.D.C.

#0011 sci1353  8912141548

x,y,z軸の次の軸が時間なら「経験」出来ているような気がします。
目をつむって像のしっぽをさわると蛇と思う…
という話がありますがあの話の通りで別に気が付けば誰にも認識できる
様な事だと思いますが如何でしょう。
０〜２次元はイメージしにくい。
それでも０次元は無の境地と云うかイメージできなくもありませんが、
１〜２次元と云うのは難しい。

話は外れますが、生れ付き盲目の人は視覚をどの様に感じているのか
という事は子供の頃誰でも考える事だと思います。私はこれを
自分の後の感じ）というふうに考えていましたが、
以前歌手の長谷川きよしさんの深夜ラジオによると
これとは違う事を仰っていらしたようです。

#0012 sci3021  8912151804

　うーん・・・時間と４次元ですか・・・。

　時間を経験することと４次元を経験することは別だと（私は）考えます。

　よく４次元時空なんていいますが、あれは単に、時間を空間と同じように扱うと
色々と都合がいいし、事実同じように扱えるから、次元を一つ拡張し、それを時間
として表しているというだけなんでしょ？（と、思う）

　実際には、３次元の３つの軸のどれもに垂直な軸は幾つでも考えることができて
（つまり、次元は無限に定義可能）、時間はその内の一つに割り当てられているに
過ぎません（う〜ん、当たり前のことを言っているようで恥ずかしい）。

　確かに０次元と１次元は（たむけんさんもおっしゃっていましたが）想像が難し
いですね。

　０次元を想像しようとすると、普通の人は点を思い浮かべるでしょうね（私だけ
かなぁ）。しかし、純粋に「点だけ」を考えるのには今まで成功したことがありま
せん（点と一緒に、周りの空間も思い浮かべてしまう）。１次元も同様です。

　まぁ、２次元なら想像できますが（普段、網膜上で捉えている像は２次元です）。

　盲人にとっての視覚を、「自分の後ろ」というのは、ユニークですね（感心！）。

                                                        D.D.C.

#0013 sci4352  8912182200

ん〜やはり三島の渡辺には３次元空間の世界に４次元空間が関与した時の
事象を想像するのが手一杯（頭一杯？）らしく無理な想像はすぱっと
諦めようと思います。　　と言いつつウジウジ考えてたりして、、ハハハ
　４次元の人（がいたら）から３次元の私達を見ると前も後ろも全部、
いっぺんに見えて視点を変化させると内側も見えてしまうことに
なるのかなぁ？瓶の中身を栓をあけずに出したり

「思うが故に存在する」ならば相対論がなければ
人類は光速を越えて４次元空間への切符を手にする可能性を
持てたのかも、、、、
私は知りませんが幽霊がポッと出て消えたりするのは
４次元人間が３次元空間を通過するならば考えられますもんね
４次元球が３次元に現れるとしたらやはり私達に３次元球として
感知されるのは幾何学で証明出来るのですから

　　　　　数々の意見を感謝します　　　三島の渡辺

追伸　４次元電話回線があれば私の悩みのひとつは楽に解消されるのに
　　　何故、三島−東京は夜でも３分／１００円なのぉ〜
　　　ここの雰囲気って好きなんだけど、つらーい
　　　斑猫さん、エッシャーの絵は私も大好きですが、４次の空間と云うより
　　　３次の空間と２次、１次、との関係＋重力（空間の歪み）を描写したものと
　　　私は理解しています、４次の影響は受けていても、それが及ぼす
　　　３次の世界を描いた絵ですよね
　　　D,D,C,さん、「ブレイン・ストーム」の映画そのものが現実に
　　　なる日を私は期待します。
　　　ＵＮＩさん、私も同じです、これからは数学ではなく物理学や
　　　量子力学をかじってみようと思います。

#0014 sci3095  8912260114

  （ｘ，ｙ，ｚ）に時間ｔを付け加えれば、確かに（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）となっ
て、四次元空間に見えるが、ところが実際、ｘ，ｙ，ｚもｔの関数になってし
まい、四次元と見なくでも良いのでは。例えば、飛行機の位置（ｘ，ｙ）、高
度ｚ、時刻ｔとしても、時刻ｔが決まれば、一意的にｘ，ｙ，ｚが決まってし
まうのだから。

#0015 sci3702  9001312152

うーん、するどい、、、
しかしこのコーナーは既に終わったのだろうか、、、
残念がる私でした。

#0016 sci3842  9001312330

　リクエストにお答えして、私がこのコーナーを続けさせていただきます。
　3095さんの、（ｘ，ｙ，ｚ）は時間の関数になるのでは、という意見ですが、
もしそうなら宇宙創生の時のすべての粒子の位置と動きがわかっていれば、
現在の宇宙の状態はすべて手に取るようにわかるはずですね。フランスの
ラプラスという物理学者がこういう論理を考えつきまして、「ラプラスの悪魔」
というＳＦファン（ＲＰＧファンもかな？）には大変有名な名前で呼ばれてい
るのですが、この理論は実はまちがいであることが後にわかったのです。
　そうです。ここであの、大学の理系教養課程の悩みの種、「量子力学」
が登場するわけです。なんでも、ハイゼンベルグさんたちによると、
粒子の状態というのは、確率でしか表せないもので、厳密に位置を決定する
ことは不可能らしいのですね（量子力学に悩んだ人間が書くと、こういう
わけのわからない文章になる）。
　ま、そういうわけで、空間は、時間の関数では表せない、つまり時間ｔも
ほかの３つの次元とは独立した４つ目の次元として扱っていいことになります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あるふへいむ